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·一、坐标系变换：
1. 平移坐标系：
如图，两个坐标系{A}与{B}的姿态相同，{B}不同于{A}的只是平移，即相当于 {A}沿着矢量APBORG移动到点PBORG处，形成了{B}。当点P相对{B}的表示已知时，可用矢量相加的方法求点P相对{A}的表示：AP = BP + APBORG。
已知，旋转矩阵各列的模均为1，且这些单位矢量相互正交；{B}相对于{A}的描述为：图片，它的列是{B}的单位矢量在{A}中的描述，行是{A}的单位矢量在{B}中的描述。如图，两个坐标系原点重合，而坐标轴不重合。则当矢量BP已知时，求AP：
经常有这种情况，我们已知矢量相对某坐标系{B}的描述，并且想求出它相对另一个坐标系{A}的描述。如图可见，这是平移和旋转的结合，则当BP已知时，求AP：
如图，有三个不同的坐标系，每个坐标系相对于前一个坐标系是已知的，即齐次变换矩阵已知。已知CP，求AP：
位置描述：
一旦建立了坐标系，我们就能用一个3×1的位置矢量对坐标系中的任意点进行定位。因为经常在世界坐标系中还要定义许多坐标系，因此必须在位置矢量上附加一信息，表明是在哪一个坐标系中定义的。
如图中的点AP用一个矢量表示为：AP = [ px py pz ]T，其中 px 、py 和pz分别为该矢量在X轴、Y轴和Z轴方向上的投影的长度。
姿态描述：
我们发现单靠位置矢量还不足以准确描述机械手的位置，还要有关于其姿态的描述才能完全确定其位置。为了描述物体的姿态，我们在物体上固定一个坐标系，并给出该坐标系相对于参考坐标系的表达。因此，点的位置可以用矢量表示，物体的姿态可以用固定在物体上的坐标系来描述。
用XB、YB和ZB表示坐标系{B}主轴方向的单位矢量，它们在参考坐标系{A}上的表达为：AXB、AYB和AZB，则将这三个单位矢量按顺序组成一个3×3的旋转矩阵，并表示为：
所以，标量rij可以用每个矢量在其参考坐标系中单位方向上投影的分量表示。也可以看出该矩阵的行是{A}的主轴方向的单位矢量在{B}中的表达，即
位姿描述：
在机器人学中，位置和姿态经常成对出现，于是我们将此组合称作位姿，4个矢量成一组，表示了位置和姿态信息。并用它们来描述坐标系，即一个坐标系可以等价地用一个位置矢量和一个旋转矩阵来描述。
注：本文章文字、图片部分来自网络
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